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2018-11-20 全部文章 68
数学之美——垂心优美的性质!-友和教育
这节课的主题本是四点共圆,但由此引出了三角形中很多漂亮的性质,让人深感数学之美朱俞硕。在此整理出来,献给所有还在中学读书的读者,以及早已远离中学数学的 80,90 后。不管大家是否喜爱数学,想必都会被这些奇妙的结论所震撼。

三角形的奇迹首先表现在各个“心”上:三角形内部的每一组有几何意义的线条都交于一点。三条角平分线交于一点,这个点就叫做三角形的“内心”,它是三角形内切圆的圆心;三边的中垂线交于一点,这个点就叫做三角形的“外心”,它是三角形外接圆的圆心;三角形的三条中线也交于一点,这个点叫做三角形的“重心”阮嘉欣,因为它真的就是这个三角形的重心。用力学方法可以很快推导出,它位于各中线的三等分点处。这些心将会在本文后面某个出人意料的地方再次出现。
三角形的三条高也不例外——它们也交于一点,这个点就叫做三角形的垂心。
垂心看上去很不起眼,但深入研究后即会冒出很多奇妙的结论。由于两个斜边重合的直角三角形将会产生出共圆的四点,因此画出三角形的三条高后,会出现大量四点共圆的情况,由此将挖掘出一连串漂亮的结论。让我们先来看一个简单而直接的结论:
定理:若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足,则 ∠1 = ∠2 。

证明:由于 ∠AFC = ∠ADC = 90°,因此 A 、 C 、 D 、 F 四点共圆,因此 ∠1 = 180° – ∠CDF = ∠A 。同理,由 A 、 B 、 D 、 E 四点共圆可知 ∠2 = ∠A 。因此 ∠1 = ∠2 。
如果把三边垂足构成的三角形称作“垂足三角形”的话,我们就有了下面这个听上去很帅的推论:
推论:三角形的垂心是其垂足三角形的内心。

证明:因为 AD 垂直于 BC,而刚才又证明了 ∠1 = ∠2君临韩娱 ,因此 ∠3 = ∠4 香醇雁 ,即 HD 平分 ∠EDF 。类似地, HE 、 HF 都是 △DEF 的内角平分线,因此 H 是 △DEF 的内心。
另一个有趣的推论如下:
推论:将 △ABC 沿 AC 翻折到 △AB’C ,假设 EF 翻折到了 EF’ 叶婷玉,则 EF’ 和 DE 共线mp7a1。

证明:这可以直接由上图中的 ∠1 = ∠2 推出。
1775 年,Fagnano 曾经提出了下面这个问题:在给定的锐角三角形 ABC 中,什么样的内接三角形具有最短的周长。这个问题就被称作“Fagnano 问题”。 Fagnano 自己给出了答案:周长最短的内接三角形就是垂足三角形。下面我们就来证明这个结论。
定理:在 △ABC 的所有内接三角形中,垂足三角形 △DEF 拥有最短的周长。

证明:像上图那样,把三角形翻折五次,得到折线段 DEF1D2E2F3D4 。这条折线段的总长度等于内接三角形 DEF 周长的两倍。注意到,由前面提到的垂足三角形的性质可知,这条折线段正好组成了一条直线段孟海公。另外,注意到如此翻折之后, BC 和 B2C2是平行且相等的,而且 D 和 D4 位于两线段上相同的位置,因此从 D 到 D4 的折线段总长以直线段 DD4 最短。这就说明了,垂足三角形 △DEF 拥有最短的周长。
不过,这还不够震撼,垂心还有不少的本事。四点共圆还会给我们带来其它的等角。
定理:若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足,则 ∠1 = ∠2 。

证明:由于 ∠BFH = ∠BDH = 90°罗森内里,因此 B 、 F 、 H 、 D 四点共圆陶朱公商训,因此 ∠1 = 180° – ∠FHD = ∠2 。
这将给我们带来了下面这个非常漂亮的推论。
推论:把 △ABC 的垂心 H 沿 BC 边翻折到 H’ ,则 H’ 在 △ABC 的外接圆上。

证明:由于 H 和 H’ 沿 BC 轴对称,叶竟生因此 ∠H’ = ∠1 。而前面已经证明过了, ∠1 = ∠2 。因此, ∠H’ = ∠2 。而 ∠H’ 和 ∠2 都是 AC 所对的角,它们相等就意味着 A 、 C 、 H’ 、 B 是四点共圆的。
换一种描述方法,这个结论还可以便得更酷:
推论:把 △ABC 的垂心 H 沿三边分别翻折到 H1 、 H2 、 H3 ,则 A 、 B 、 C 、 H1、 H2 、 H3 六点共圆。

证明:这可以直接由前面的结论得到。
另一个更加对称美观的结论如下:
推论:若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足, H 是垂心,则 AH·DH = BH·EH = CH·FH 。

证明:做出 △ABC 的外接圆,然后延长 HD 、 HE 、 HF ,它们与外接圆的交点分别记作 H1 、 H2 、 H3 。前面的结论告诉我们, HH1 = 2HD , HH2 = 2HE , HH3= 2HF。而相交弦定理(或者圆幂定理十三太保横练 ,可以用相似迅速得证)告诉我们, AH·HH1= BH·HH2 = CH·HH3 。各等量同时除以 2 ,就有 AH·DH = BH·EH = CH·FH 。
让我们再来看一个与外接圆有关的定理。
定理:若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足, H 是垂心。过 C 作 BC 的垂线,与 △ABC 的外接圆交于点 G 。则 CG = AH 。

证明:我们将证明四边形 AHCG 的两组对边分别平行,从而说明它是一个平行四边形。注意到 CG 和 AD 都垂直于 BC ,因此 CG 和 AD 是平行的。由于 ∠BCG 是直角,这说明 BG 是圆的直径,也就说明 ∠BAG 也是直角,即 GA 垂直于 AB 。而 CF 也垂直于 AB ,所以 AG 与 CF 平行。因而四边形 AHCG 是平行四边形, CG = AH 。
它也能带来一个更帅的推论:
推论:若 H 是 △ABC 的垂心,O 是 △ABC 的外心,则 O 到 BC 的垂线段 OM 与 AH 平行,并且是 AH 长度的一半司马云信。南京南站列车时刻表

证明:前面我们证明了,上图中的 CG 与 AH 平行且相等。注意到 BG 是外接圆的直径, BG 的中点就是圆心,也就是 △ABC 的外心 O 。垂线段 OM 是 △BCG 的中位线,它平行且等于 CG 的一半,从而也就平行且等于 AH 的一半。
好了,下面大家将会看到的就是初等几何的瑰宝:
推论:三角形的垂心、重心和外心共线,且重心在垂心和外心连线的三等分点处。

证明:把 AM 和 HO 的交点记作 X 。刚才我们已经证明了, AH 与 OM 平行,且长度之比为 2:1 纸贵金迷。因此, △AHX 和 △MOX 相似陈焕生进城,相似比为 2:1 。由此可知, HX:XO = 2:1 ,即 X 在线段 HO 的三等分点处。另外, AX:XM =2:1 ,也就是说 X 在三角形中线 AM 的 2:1 处。这说明, X 正是三角形的重心!
任意给定一个三角形,它的垂心、重心和外心三点共线,且重心将垂心和外心的连线分成 1:2 两段。这个美妙的结论是大数学家 Euler 在 1765 年时发现的,它是众多“Euler 定理”的其中之一。
说到 Euler 定理,九点圆是不能不提的;不过由于篇幅有限,也就到这儿为止了。垂心的性质还有很多,很难在一篇文章里把它们讲完。而且,这还仅仅是与垂心相关的定理,三角形中的心还有很多很多。1994 年,美国数学教授 Clark Kimberling 开始收集历史上被数学家们研究过的三角形的心,并建立了“三角形中心百科全书”的网站。这个网站记录了几乎所有目前已知的三角形的心。在这部百科全书里,每个三角形的心都有一个编号,编号为 n 的心就用符号 X(n) 来表示,其中 X(1) 到 X(8) 分别为内心、重心、外心、垂心、九点圆圆心、类似重心、 Gergonne 点和 Nagel 点易庭源。不但每个心都有自己独特的几何性质,各个心之间还有大量共线、共圆的关系。
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